三次不等式计算

三次不等式通常指的是形如 ( ax3 + bx2 + cx + d > 0 ) 或 ( ax3 + bx2 + cx + d < 0 ) 的不等式，其中 ( a, b, c, d ) 是常数，且 ( a neq 0 )。

要解这样的不等式，通常需要以下步骤：

1. 判断不等式的符号：首先确定 ( a ) 的符号，这将影响整个多项式的符号。

2. 找出多项式的根：通过因式分解、使用卡尔丹公式或数值方法找出多项式的实根。

3. 确定根的区间：根据根的大小，将实数轴分为若干区间。

4. 测试区间：在每个区间内取一个测试点，代入原不等式，判断该区间内多项式的符号。

5. 确定解集：根据测试结果，确定哪些区间满足原不等式。

下面我将通过一个具体的例子来演示这个过程。

假设我们有不等式 ( x3 6x2 + 11x 6 > 0 )。

步骤 1：判断不等式的符号

由于 ( a = 1 > 0 )，我们知道多项式在实数轴上至少有一个正区间和一个负区间。

步骤 2：找出多项式的根

我们尝试因式分解多项式：

[ x3 6x2 + 11x 6 = (x 1)(x 2)(x 3) ]

步骤 3：确定根的区间

根为 ( x = 1, 2, 3 )，所以实数轴被分为四个区间：

( (-infty, 1) )

( (1, 2) )

( (2, 3) )

( (3, +infty) )

步骤 4：测试区间

我们选取每个区间中的一个测试点：

在 ( (-infty, 1) ) 中，取 ( x = 0 )，代入不等式，得到 ( 03 6 cdot 02 + 11 cdot 0 6 = -6 < 0 )，所以这个区间不满足不等式。

在 ( (1, 2) ) 中，取 ( x = 1.5 )，代入不等式，得到 ( 1.53 6 cdot 1.52 + 11 cdot 1.5 6 = 0.875 > 0 )，所以这个区间满足不等式。

在 ( (2, 3) ) 中，取 ( x = 2.5 )，代入不等式，得到 ( 2.53 6 cdot 2.52 + 11 cdot 2.5 6 = -0.875 < 0 )，所以这个区间不满足不等式。

在 ( (3, +infty) ) 中，取 ( x = 4 )，代入不等式，得到 ( 43 6 cdot 42 + 11 cdot 4 6 = 10 > 0 )，所以这个区间满足不等式。

步骤 5：确定解集

结合测试结果，我们得到不等式的解集为 ( (1, 2) cup (3, +infty) )。

请注意，这个例子使用了因式分解的方法来找出多项式的根。在实际计算中，如果多项式不能轻易因式分解，可能需要使用更复杂的方法，如卡尔丹公式或数值方法。